Integral de $$$\frac{e^{- x}}{x}$$$

Encontre $$$\int \frac{e^{- x}}{x}\, dx$$$.

Seja $$$u=- x$$$.

Então $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (veja os passos »), e obtemos $$$dx = - du$$$.

A integral pode ser reescrita como

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- x}}{x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}}$$

Esta integral (Integral Exponencial) não possui forma fechada:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(u \right)}}}$$

Recorde que $$$u=- x$$$:

$$\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(- x\right)}} \right)}$$

Portanto,

$$\int{\frac{e^{- x}}{x} d x} = \operatorname{Ei}{\left(- x \right)}$$

Adicione a constante de integração:

$$\int{\frac{e^{- x}}{x} d x} = \operatorname{Ei}{\left(- x \right)}+C$$

$$$\int \frac{e^{- x}}{x}\, dx = \operatorname{Ei}{\left(- x \right)} + C$$$A