Ολοκλήρωμα του $$$\frac{e^{- x}}{x}$$$

Βρείτε $$$\int \frac{e^{- x}}{x}\, dx$$$.

Έστω $$$u=- x$$$.

Τότε $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dx = - du$$$.

Το ολοκλήρωμα γίνεται

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- x}}{x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}}$$

Αυτό το ολοκλήρωμα (Εκθετικό Ολοκλήρωμα) δεν έχει κλειστή μορφή:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(u \right)}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=- x$$$:

$$\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(- x\right)}} \right)}$$

Επομένως,

$$\int{\frac{e^{- x}}{x} d x} = \operatorname{Ei}{\left(- x \right)}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\frac{e^{- x}}{x} d x} = \operatorname{Ei}{\left(- x \right)}+C$$

$$$\int \frac{e^{- x}}{x}\, dx = \operatorname{Ei}{\left(- x \right)} + C$$$A