Integral de $$$\frac{e^{- x}}{x}$$$

Halla $$$\int \frac{e^{- x}}{x}\, dx$$$.

Sea $$$u=- x$$$.

Entonces $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (los pasos pueden verse »), y obtenemos que $$$dx = - du$$$.

Por lo tanto,

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- x}}{x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}}$$

Esta integral (Integral exponencial) no tiene una forma cerrada:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(u \right)}}}$$

Recordemos que $$$u=- x$$$:

$$\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(- x\right)}} \right)}$$

Por lo tanto,

$$\int{\frac{e^{- x}}{x} d x} = \operatorname{Ei}{\left(- x \right)}$$

Añade la constante de integración:

$$\int{\frac{e^{- x}}{x} d x} = \operatorname{Ei}{\left(- x \right)}+C$$

$$$\int \frac{e^{- x}}{x}\, dx = \operatorname{Ei}{\left(- x \right)} + C$$$A