Linha tangente a $$$x{\left(t \right)} = 5 \cos{\left(2 t \right)}$$$, $$$y{\left(t \right)} = t^{\frac{7}{2}}$$$ em $$$t = \frac{\pi}{4}$$$

Calcule a reta tangente a $$$x{\left(t \right)} = 5 \cos{\left(2 t \right)}$$$, $$$y{\left(t \right)} = t^{\frac{7}{2}}$$$ em $$$t = \frac{\pi}{4}$$$.

Encontre os valores das coordenadas $$$x$$$ e $$$y$$$, que correspondem ao dado $$$t_{0} = \frac{\pi}{4}$$$ :

$$$x_{0} = x{\left(\frac{\pi}{4} \right)} = 0$$$

$$$y_{0} = y{\left(\frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\pi^{\frac{7}{2}}}{128}$$$

A inclinação da reta tangente em $$$t = t_{0}$$$ é a derivada da função, avaliada em $$$t = t_{0}$$$: $$$M{\left(t_{0} \right)} = \frac{dy}{dx}|_{\left(t = t_{0}\right)}$$$.

A derivada de uma função paramétrica é dada por $$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$$.

Para calculá-la, encontre a derivada de $$$x$$$ em relação a $$$t$$$: $$$\frac{dx}{dt} = - 10 \sin{\left(2 t \right)}$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas).

Em seguida, encontre a derivada de $$$y$$$ em relação a $$$t$$$: $$$\frac{dy}{dt} = \frac{7 t^{\frac{5}{2}}}{2}$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas).

Assim, $$$\frac{dy}{dx} = - \frac{7 t^{\frac{5}{2}}}{20 \sin{\left(2 t \right)}}$$$.

Portanto, $$$M{\left(t_{0} \right)} = \frac{dy}{dx}|_{\left(t = t_{0}\right)} = - \frac{7 t_{0}^{\frac{5}{2}}}{20 \sin{\left(2 t_{0} \right)}}$$$.

Em seguida, encontre a inclinação no ponto dado.

$$$m = M{\left(\frac{\pi}{4} \right)} = - \frac{7 \pi^{\frac{5}{2}}}{640}$$$

Finalmente, a equação da reta tangente é $$$y - y_{0} = m \left(x - x_{0}\right)$$$.

Substituindo os valores encontrados, obtemos $$$y - \frac{\pi^{\frac{7}{2}}}{128} = - \frac{7 \pi^{\frac{5}{2}}}{640} \left(x - 0\right)$$$.

Ou, mais simplesmente: $$$y = - \frac{7 \pi^{\frac{5}{2}} x}{640} + \frac{\pi^{\frac{7}{2}}}{128}$$$.

A equação da reta tangente é $$$y = - \frac{7 \pi^{\frac{5}{2}} x}{640} + \frac{\pi^{\frac{7}{2}}}{128}\approx 0.42935308206437 - 0.191334262958397 x.$$$A