Reta tangente a $$$y = - 2 \sin{\left(x \right)}$$$ em $$$x = 34 \pi$$$

Calcule a reta tangente a $$$y = - 2 \sin{\left(x \right)}$$$ em $$$x = 34 \pi$$$.

É dado que $$$f{\left(x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)}$$$ e $$$x_{0} = 34 \pi$$$.

Determine o valor da função no ponto dado: $$$y_{0} = f{\left(34 \pi \right)} = 0$$$.

O coeficiente angular da reta tangente em $$$x = x_{0}$$$ é a derivada da função, avaliada em $$$x = x_{0}$$$: $$$M{\left(x_{0} \right)} = f^{\prime }\left(x_{0}\right)$$$.

Encontre a derivada: $$$f^{\prime }\left(x\right) = \left(- 2 \sin{\left(x \right)}\right)^{\prime } = - 2 \cos{\left(x \right)}$$$ (para as etapas, veja calculadora de derivadas).

Logo, $$$M{\left(x_{0} \right)} = f^{\prime }\left(x_{0}\right) = - 2 \cos{\left(x_{0} \right)}$$$.

Em seguida, encontre a inclinação no ponto dado.

$$$m = M{\left(34 \pi \right)} = -2$$$

Finalmente, a equação da reta tangente é $$$y - y_{0} = m \left(x - x_{0}\right)$$$.

Substituindo os valores encontrados, obtemos que $$$y - 0 = - 2 \left(x - 34 \pi\right)$$$.

Ou, mais simplesmente: $$$y = - 2 x + 68 \pi$$$.

A equação da reta tangente é $$$y = - 2 x + 68 \pi\approx 213.62830044410594 - 2 x$$$A.