Derivada de $$$\sqrt{a^{x} - 1}$$$ em relação a $$$x$$$

A função $$$\sqrt{a^{x} - 1}$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = \sqrt{u}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = a^{x} - 1$$$.

Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{a^{x} - 1}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right) \frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right)\right)}$$

Aplique a regra da potência $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ com $$$n = \frac{1}{2}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)} \frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right)$$

Retorne à variável original:

$$\frac{\frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(u\right)}}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(a^{x} - 1\right)}}}$$

A derivada de uma soma/diferença é a soma/diferença das derivadas:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right)\right)}}{2 \sqrt{a^{x} - 1}} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a^{x}\right) - \frac{d}{dx} \left(1\right)\right)}}{2 \sqrt{a^{x} - 1}}$$

Aplique a regra exponencial $$$\frac{d}{dx} \left(n^{x}\right) = n^{x} \ln\left(n\right)$$$ com $$$n = a$$$:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a^{x}\right)\right)} - \frac{d}{dx} \left(1\right)}{2 \sqrt{a^{x} - 1}} = \frac{{\color{red}\left(a^{x} \ln\left(a\right)\right)} - \frac{d}{dx} \left(1\right)}{2 \sqrt{a^{x} - 1}}$$

A derivada de uma constante é $$$0$$$:

$$\frac{a^{x} \ln\left(a\right) - {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)}}{2 \sqrt{a^{x} - 1}} = \frac{a^{x} \ln\left(a\right) - {\color{red}\left(0\right)}}{2 \sqrt{a^{x} - 1}}$$

Logo, $$$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{a^{x} - 1}\right) = \frac{a^{x} \ln\left(a\right)}{2 \sqrt{a^{x} - 1}}$$$.