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Derivada de $$$\sin{\left(\ln\left(x\right) \right)}$$$
Calculadoras relacionadas: Calculadora de Derivação Logarítmica, Calculadora de Diferenciação Implícita com Passos
Sua entrada
Encontre $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(\ln\left(x\right) \right)}\right)$$$.
Solução
A função $$$\sin{\left(\ln\left(x\right) \right)}$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$.
Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(\ln\left(x\right) \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)}$$A derivada do seno é $$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)$$Retorne à variável original:
$$\cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \cos{\left({\color{red}\left(\ln\left(x\right)\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)$$A derivada do logaritmo natural é $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:
$$\cos{\left(\ln\left(x\right) \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} = \cos{\left(\ln\left(x\right) \right)} {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}$$Logo, $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(\ln\left(x\right) \right)}\right) = \frac{\cos{\left(\ln\left(x\right) \right)}}{x}$$$.
Resposta
$$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(\ln\left(x\right) \right)}\right) = \frac{\cos{\left(\ln\left(x\right) \right)}}{x}$$$A