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Derivada de $$$\sin{\left(4 t \right)}$$$
Calculadoras relacionadas: Calculadora de Derivação Logarítmica, Calculadora de Diferenciação Implícita com Passos
Sua entrada
Encontre $$$\frac{d}{dt} \left(\sin{\left(4 t \right)}\right)$$$.
Solução
A função $$$\sin{\left(4 t \right)}$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(t \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ e $$$g{\left(t \right)} = 4 t$$$.
Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dt} \left(f{\left(g{\left(t \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dt} \left(g{\left(t \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(\sin{\left(4 t \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dt} \left(4 t\right)\right)}$$A derivada do seno é $$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dt} \left(4 t\right) = {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dt} \left(4 t\right)$$Retorne à variável original:
$$\cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dt} \left(4 t\right) = \cos{\left({\color{red}\left(4 t\right)} \right)} \frac{d}{dt} \left(4 t\right)$$Aplique a regra da constante multiplicativa $$$\frac{d}{dt} \left(c f{\left(t \right)}\right) = c \frac{d}{dt} \left(f{\left(t \right)}\right)$$$ com $$$c = 4$$$ e $$$f{\left(t \right)} = t$$$:
$$\cos{\left(4 t \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(4 t\right)\right)} = \cos{\left(4 t \right)} {\color{red}\left(4 \frac{d}{dt} \left(t\right)\right)}$$Aplique a regra da potência $$$\frac{d}{dt} \left(t^{n}\right) = n t^{n - 1}$$$ com $$$n = 1$$$, em outras palavras, $$$\frac{d}{dt} \left(t\right) = 1$$$:
$$4 \cos{\left(4 t \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t\right)\right)} = 4 \cos{\left(4 t \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$Logo, $$$\frac{d}{dt} \left(\sin{\left(4 t \right)}\right) = 4 \cos{\left(4 t \right)}$$$.
Resposta
$$$\frac{d}{dt} \left(\sin{\left(4 t \right)}\right) = 4 \cos{\left(4 t \right)}$$$A