Derivada de $$$\ln\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$$

Encontre $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right)$$$.

A função $$$\ln\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ e $$$g{\left(x \right)} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$$$.

Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right)}$$

A derivada do logaritmo natural é $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$

Retorne à variável original:

$$\frac{\frac{d}{dx} \left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)}{{\color{red}\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)}}$$

A derivada de uma soma/diferença é a soma/diferença das derivadas:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right)}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) + \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)\right)}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$$

Aplique a regra da potência $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ com $$$n = 1$$$, em outras palavras, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{{\color{red}\left(1\right)} + \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$$

A função $$$\sqrt{x^{2} + 1}$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = \sqrt{u}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = x^{2} + 1$$$.

Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)\right)} + 1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right) \frac{d}{dx} \left(x^{2} + 1\right)\right)} + 1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$$

Aplique a regra da potência $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ com $$$n = \frac{1}{2}$$$:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(x^{2} + 1\right) + 1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{{\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)} \frac{d}{dx} \left(x^{2} + 1\right) + 1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$$

Retorne à variável original:

$$\frac{1 + \frac{\frac{d}{dx} \left(x^{2} + 1\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(u\right)}}}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{1 + \frac{\frac{d}{dx} \left(x^{2} + 1\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(x^{2} + 1\right)}}}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$$

A derivada de uma soma/diferença é a soma/diferença das derivadas:

$$\frac{1 + \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2} + 1\right)\right)}}{2 \sqrt{x^{2} + 1}}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{1 + \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2}\right) + \frac{d}{dx} \left(1\right)\right)}}{2 \sqrt{x^{2} + 1}}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$$

A derivada de uma constante é $$$0$$$:

$$\frac{1 + \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)}{2 \sqrt{x^{2} + 1}}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{1 + \frac{{\color{red}\left(0\right)} + \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)}{2 \sqrt{x^{2} + 1}}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$$

Aplique a regra da potência $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ com $$$n = 2$$$:

$$\frac{1 + \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)\right)}}{2 \sqrt{x^{2} + 1}}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{1 + \frac{{\color{red}\left(2 x\right)}}{2 \sqrt{x^{2} + 1}}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$$

Simplifique:

$$\frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$

Logo, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$$.