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Derivada de $$$\ln\left(x + 1\right)$$$
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Sua entrada
Encontre $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x + 1\right)\right)$$$.
Solução
A função $$$\ln\left(x + 1\right)$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ e $$$g{\left(x \right)} = x + 1$$$.
Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x + 1\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(x + 1\right)\right)}$$A derivada do logaritmo natural é $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(x + 1\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(x + 1\right)$$Volte para a variável antiga:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(x + 1\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(x + 1\right)}{{\color{red}\left(x + 1\right)}}$$A derivada de uma soma/diferença é a soma/diferença das derivadas:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x + 1\right)\right)}}{x + 1} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) + \frac{d}{dx} \left(1\right)\right)}}{x + 1}$$Aplique a regra de potência $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ com $$$n = 1$$$, ou seja, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(1\right)}{x + 1} = \frac{{\color{red}\left(1\right)} + \frac{d}{dx} \left(1\right)}{x + 1}$$A derivada de uma constante é $$$0$$$:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} + 1}{x + 1} = \frac{{\color{red}\left(0\right)} + 1}{x + 1}$$Assim, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x + 1\right)\right) = \frac{1}{x + 1}$$$.
Responder
$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x + 1\right)\right) = \frac{1}{x + 1}$$$A