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Derivada de $$$\ln\left(\sin{\left(x \right)}\right)$$$
Calculadoras relacionadas: Calculadora de Derivação Logarítmica, Calculadora de Diferenciação Implícita com Passos
Sua entrada
Encontre $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)$$$.
Solução
A função $$$\ln\left(\sin{\left(x \right)}\right)$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ e $$$g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$$$.
Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)}$$A derivada do logaritmo natural é $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)$$Retorne à variável original:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(\sin{\left(x \right)}\right)}}$$A derivada do seno é $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) = \cos{\left(x \right)}$$$:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)}}{\sin{\left(x \right)}} = \frac{{\color{red}\left(\cos{\left(x \right)}\right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$Simplifique:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$$Logo, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\sin{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$$$.
Resposta
$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\sin{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$$$A