Derivada de $$$\ln\left(2 x\right)$$$
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Encontre $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(2 x\right)\right)$$$.
Solução
A função $$$\ln\left(2 x\right)$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ e $$$g{\left(x \right)} = 2 x$$$.
Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(2 x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)}$$A derivada do logaritmo natural é $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right)$$Volte para a variável antiga:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(2 x\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(2 x\right)}{{\color{red}\left(2 x\right)}}$$Aplique a regra múltipla constante $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ com $$$c = 2$$$ e $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)}}{2 x} = \frac{{\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{2 x}$$Aplique a regra de potência $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ com $$$n = 1$$$, ou seja, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{x} = \frac{{\color{red}\left(1\right)}}{x}$$Assim, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(2 x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$.
Responder
$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(2 x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$A