Derivada de $$$e^{x} \sin{\left(x \right)}$$$
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Sua entrada
Encontre $$$\frac{d}{dx} \left(e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)$$$.
Solução
Aplique a regra do produto $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ com $$$f{\left(x \right)} = e^{x}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{x}\right) \sin{\left(x \right)} + e^{x} \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)}$$A derivada da função exponencial é $$$\frac{d}{dx} \left(e^{x}\right) = e^{x}$$$:
$$e^{x} \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{x}\right)\right)} = e^{x} \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(e^{x}\right)}$$A derivada do seno é $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) = \cos{\left(x \right)}$$$:
$$e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)} = e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} {\color{red}\left(\cos{\left(x \right)}\right)}$$Simplifique:
$$e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)} = \sqrt{2} e^{x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$Logo, $$$\frac{d}{dx} \left(e^{x} \sin{\left(x \right)}\right) = \sqrt{2} e^{x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$$.
Resposta
$$$\frac{d}{dx} \left(e^{x} \sin{\left(x \right)}\right) = \sqrt{2} e^{x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$$A