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Derivada de $$$e^{x y z}$$$ em relação a $$$x$$$
Calculadoras relacionadas: Calculadora de Derivação Logarítmica, Calculadora de Diferenciação Implícita com Passos
Sua entrada
Encontre $$$\frac{d}{dx} \left(e^{x y z}\right)$$$.
Solução
A função $$$e^{x y z}$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = x y z$$$.
Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{x y z}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(x y z\right)\right)}$$A derivada da função exponencial é $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(x y z\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(x y z\right)$$Retorne à variável original:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(x y z\right) = e^{{\color{red}\left(x y z\right)}} \frac{d}{dx} \left(x y z\right)$$Aplique a regra da constante multiplicativa $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ com $$$c = y z$$$ e $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$e^{x y z} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x y z\right)\right)} = e^{x y z} {\color{red}\left(y z \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Aplique a regra da potência $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ com $$$n = 1$$$, em outras palavras, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$y z e^{x y z} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = y z e^{x y z} {\color{red}\left(1\right)}$$Logo, $$$\frac{d}{dx} \left(e^{x y z}\right) = y z e^{x y z}$$$.
Resposta
$$$\frac{d}{dx} \left(e^{x y z}\right) = y z e^{x y z}$$$A