Derivada de $$$e^{- 8 x^{4}}$$$
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Encontre $$$\frac{d}{dx} \left(e^{- 8 x^{4}}\right)$$$.
Solução
A função $$$e^{- 8 x^{4}}$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = - 8 x^{4}$$$.
Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{- 8 x^{4}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(- 8 x^{4}\right)\right)}$$A derivada da função exponencial é $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(- 8 x^{4}\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(- 8 x^{4}\right)$$Retorne à variável original:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(- 8 x^{4}\right) = e^{{\color{red}\left(- 8 x^{4}\right)}} \frac{d}{dx} \left(- 8 x^{4}\right)$$Aplique a regra da constante multiplicativa $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ com $$$c = -8$$$ e $$$f{\left(x \right)} = x^{4}$$$:
$$e^{- 8 x^{4}} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(- 8 x^{4}\right)\right)} = e^{- 8 x^{4}} {\color{red}\left(- 8 \frac{d}{dx} \left(x^{4}\right)\right)}$$Aplique a regra da potência $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ com $$$n = 4$$$:
$$- 8 e^{- 8 x^{4}} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{4}\right)\right)} = - 8 e^{- 8 x^{4}} {\color{red}\left(4 x^{3}\right)}$$Logo, $$$\frac{d}{dx} \left(e^{- 8 x^{4}}\right) = - 32 x^{3} e^{- 8 x^{4}}$$$.
Resposta
$$$\frac{d}{dx} \left(e^{- 8 x^{4}}\right) = - 32 x^{3} e^{- 8 x^{4}}$$$A