Derivada de $$$\cos{\left(\frac{2}{x} \right)}$$$
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Sua entrada
Encontre $$$\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right)$$$.
Solução
A função $$$\cos{\left(\frac{2}{x} \right)}$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = \frac{2}{x}$$$.
Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(\frac{2}{x}\right)\right)}$$A derivada do cosseno é $$$\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right) = - \sin{\left(u \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{2}{x}\right) = {\color{red}\left(- \sin{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{2}{x}\right)$$Retorne à variável original:
$$- \sin{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{2}{x}\right) = - \sin{\left({\color{red}\left(\frac{2}{x}\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{2}{x}\right)$$Aplique a regra da constante multiplicativa $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ com $$$c = 2$$$ e $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$$:
$$- \sin{\left(\frac{2}{x} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{2}{x}\right)\right)} = - \sin{\left(\frac{2}{x} \right)} {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)}$$Aplique a regra da potência $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ com $$$n = -1$$$:
$$- 2 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)} = - 2 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)} {\color{red}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)}$$Logo, $$$\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right) = \frac{2 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}{x^{2}}$$$.
Resposta
$$$\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right) = \frac{2 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}{x^{2}}$$$A