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Derivada de $$$\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}$$$
Calculadoras relacionadas: Calculadora de Derivação Logarítmica, Calculadora de Diferenciação Implícita com Passos
Sua entrada
Encontre $$$\frac{d}{dx} \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right)$$$.
Solução
A função $$$\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = \sqrt{x}$$$.
Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\operatorname{atan}{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)\right)}$$A derivada da arcotangente é $$$\frac{d}{du} \left(\operatorname{atan}{\left(u \right)}\right) = \frac{1}{u^{2} + 1}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\operatorname{atan}{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u^{2} + 1}\right)} \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)$$Retorne à variável original:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}^{2} + 1} = \frac{\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)}{{\color{red}\left(\sqrt{x}\right)}^{2} + 1}$$Aplique a regra da potência $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ com $$$n = \frac{1}{2}$$$:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)\right)}}{x + 1} = \frac{{\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)}}{x + 1}$$Logo, $$$\frac{d}{dx} \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) = \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(x + 1\right)}$$$.
Resposta
$$$\frac{d}{dx} \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) = \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(x + 1\right)}$$$A