Encontre a parábola dada o ponto $$$\left(0, 0\right)$$$, o ponto $$$\left(20, 35\right)$$$, o ponto $$$\left(80, 0\right)$$$

Encontre a equação, vértice, foco, diretriz, eixo de simetria, latus rectum, comprimento do latus rectum (largura focal), parâmetro focal, distância focal, excentricidade, interceptações x, interceptações y, domínio e alcance da parábola encontrado a partir dos dados fornecidos: o ponto $$$\left(0, 0\right)$$$, o ponto $$$\left(20, 35\right)$$$, o ponto $$$\left(80, 0\right)$$$.

A equação de uma parábola é $$$y = \frac{1}{4 \left(f - k\right)} \left(x - h\right)^{2} + k$$$, onde $$$\left(h, k\right)$$$ é o vértice e $$$\left(h, f\right)$$$ é o foco.

Como o ponto $$$\left(0, 0\right)$$$ está na parábola, então $$$0 = \frac{1}{4 \left(f - k\right)} \left(0 - h\right)^{2} + k$$$.

Como o ponto $$$\left(20, 35\right)$$$ está na parábola, então $$$35 = \frac{1}{4 \left(f - k\right)} \left(20 - h\right)^{2} + k$$$.

Como o ponto $$$\left(80, 0\right)$$$ está na parábola, então $$$0 = \frac{1}{4 \left(f - k\right)} \left(80 - h\right)^{2} + k$$$.

Resolvendo o sistema $$$\begin{cases} 0 = \frac{h^{2}}{4 f - 4 k} + k \\ 35 = k + \frac{\left(20 - h\right)^{2}}{4 f - 4 k} \\ 0 = k + \frac{\left(80 - h\right)^{2}}{4 f - 4 k} \end{cases}$$$, obtemos essa $$$h = 40$$$, $$$k = \frac{140}{3}$$$, $$$f = \frac{800}{21}$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora do sistema de equações).

O formulário padrão é $$$y = - \frac{7 x^{2}}{240} + \frac{7 x}{3}$$$.

A forma geral é $$$- 7 x^{2} + 560 x - 240 y = 0$$$.

A forma do vértice é $$$y = - \frac{7 \left(x - 40\right)^{2}}{240} + \frac{140}{3}$$$.

A diretriz é $$$y = d$$$.

Para encontrar $$$d$$$, use o fato de que a distância do foco ao vértice é igual à distância do vértice à diretriz: $$$\frac{140}{3} - \frac{800}{21} = d - \frac{140}{3}$$$.

Assim, a diretriz é $$$y = \frac{1160}{21}$$$.

O eixo de simetria é a reta perpendicular à diretriz que passa pelo vértice e pelo foco: $$$x = 40$$$.

A distância focal é a distância entre o foco e o vértice: $$$\frac{60}{7}$$$.

O parâmetro focal é a distância entre o foco e a diretriz: $$$\frac{120}{7}$$$.

O latus rectum é paralelo à diretriz e passa pelo foco: $$$y = \frac{800}{21}$$$.

As extremidades do latus rectum podem ser encontradas resolvendo o sistema $$$\begin{cases} - 7 x^{2} + 560 x - 240 y = 0 \\ y = \frac{800}{21} \end{cases}$$$ (para conhecer as etapas, consulte calculadora do sistema de equações).

Os pontos finais do latus rectum são $$$\left(\frac{160}{7}, \frac{800}{21}\right)$$$, $$$\left(\frac{400}{7}, \frac{800}{21}\right)$$$.

O comprimento do latus rectum (largura focal) é quatro vezes a distância entre o vértice e o foco: $$$\frac{240}{7}$$$.

A excentricidade de uma parábola é sempre $$$1$$$.

As interceptações x podem ser encontradas definindo $$$y = 0$$$ na equação e resolvendo para $$$x$$$ (para conhecer as etapas, consulte calculadora de interceptações).

interceptações x: $$$\left(0, 0\right)$$$, $$$\left(80, 0\right)$$$

As interceptações y podem ser encontradas definindo $$$x = 0$$$ na equação e resolvendo para $$$y$$$: (para conhecer as etapas, consulte calculadora de interceptações).

interceptação y: $$$\left(0, 0\right)$$$.

Forma/equação padrão: $$$y = - \frac{7 x^{2}}{240} + \frac{7 x}{3}$$$A.

Forma geral/equação: $$$- 7 x^{2} + 560 x - 240 y = 0$$$A.

Forma/equação do vértice: $$$y = - \frac{7 \left(x - 40\right)^{2}}{240} + \frac{140}{3}$$$A.

Foco-diretriz forma/equação: $$$\left(x - 40\right)^{2} + \left(y - \frac{800}{21}\right)^{2} = \left(y - \frac{1160}{21}\right)^{2}$$$A.

Interceptar forma/equação: $$$y = - \frac{7 x \left(x - 80\right)}{240}$$$A.

Gráfico: consulte a calculadora gráfica.

Vértice: $$$\left(40, \frac{140}{3}\right)\approx \left(40, 46.666666666666667\right)$$$A.

Foco: $$$\left(40, \frac{800}{21}\right)\approx \left(40, 38.095238095238095\right)$$$A.

Diretriz: $$$y = \frac{1160}{21}\approx 55.238095238095238$$$A.

Eixo de simetria: $$$x = 40$$$A.

Latus reto: $$$y = \frac{800}{21}\approx 38.095238095238095$$$A.

Endpoints do latus rectum: $$$\left(\frac{160}{7}, \frac{800}{21}\right)\approx \left(22.857142857142857, 38.095238095238095\right)$$$, $$$\left(\frac{400}{7}, \frac{800}{21}\right)\approx \left(57.142857142857143, 38.095238095238095\right)$$$A.

Comprimento do latus rectum (largura focal): $$$\frac{240}{7}\approx 34.285714285714286$$$A.

Parâmetro focal: $$$\frac{120}{7}\approx 17.142857142857143$$$A.

Distância focal: $$$\frac{60}{7}\approx 8.571428571428571$$$A.

Excentricidade: $$$1$$$A.

interceptações x: $$$\left(0, 0\right)$$$, $$$\left(80, 0\right)$$$A

interceptação y: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Domínio: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.

Intervalo: $$$\left(-\infty, \frac{140}{3}\right]\approx \left(-\infty, 46.666666666666667\right]$$$A.