Propriedades da elipse $$$7 x^{2} - 2 x y - 22 x + 7 y^{2} - 38 y + 67 = 0$$$

Encontre o centro, focos, vértices, co-vértices, comprimento do eixo maior, comprimento do semi-eixo maior, comprimento do eixo menor, comprimento do eixo semi-menor, área, circunferência, latera recta, comprimento da latera recta (largura focal), focal parâmetro, excentricidade, excentricidade linear (distância focal), diretrizes, interceptações x, interceptações y, domínio e alcance da elipse $$$7 x^{2} - 2 x y - 22 x + 7 y^{2} - 38 y + 67 = 0$$$.

Esta é a elipse inclinada: gire-a $$$45^{\circ}$$$ no sentido horário.

A nova elipse é $$$6 x^{2} - 30 \sqrt{2} x + 8 y^{2} - 8 \sqrt{2} y + 67 = 0$$$, encontre suas propriedades (para ver as etapas, consulte calculadora de elipse).

Centro: $$$\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$.

Primeiro foco: $$$\left(2 \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$.

Segundo foco: $$$\left(3 \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$.

Primeiro vértice: $$$\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$.

Segundo vértice: $$$\left(\frac{7 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$.

Primeiro co-vértice: $$$\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, \frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\right)$$$.

Segundo co-vértice: $$$\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}\right)$$$.

Comprimento do eixo principal: $$$2 \sqrt{2}$$$.

Comprimento do semi-eixo maior: $$$\sqrt{2}$$$.

Comprimento do eixo menor: $$$\sqrt{6}$$$.

Comprimento do semi-eixo menor: $$$\frac{\sqrt{6}}{2}$$$.

Área: $$$\sqrt{3} \pi$$$.

Circunferência: $$$4 \sqrt{2} E\left(\frac{1}{4}\right)$$$.

Primeiro latus rectum: $$$x = 2 \sqrt{2}$$$.

Segundo latus rectum: $$$x = 3 \sqrt{2}$$$.

Endpoints do primeiro latus rectum: $$$\left(2 \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$$, $$$\left(2 \sqrt{2}, \frac{5 \sqrt{2}}{4}\right)$$$.

Endpoints do segundo latus rectum: $$$\left(3 \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$$, $$$\left(3 \sqrt{2}, \frac{5 \sqrt{2}}{4}\right)$$$.

Comprimento da latera recta (largura focal): $$$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$$$.

Parâmetro focal: $$$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$$$.

Excentricidade: $$$\frac{1}{2}$$$.

Excentricidade linear (distância focal): $$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$$.

Primeira diretriz: $$$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$.

Segunda diretriz: $$$x = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$$$.

Agora, gire para trás.

$$$\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$ se torna $$$\left(2, 3\right)$$$ (para etapas, consulte calculadora de rotação).

$$$\left(2 \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$ se torna $$$\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)$$$ (para etapas, consulte calculadora de rotação).

$$$\left(3 \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$ se torna $$$\left(\frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right)$$$ (para etapas, consulte calculadora de rotação).

$$$\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$ se torna $$$\left(1, 2\right)$$$ (para etapas, consulte calculadora de rotação).

$$$\left(\frac{7 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$ se torna $$$\left(3, 4\right)$$$ (para etapas, consulte calculadora de rotação).

$$$\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, \frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\right)$$$ se torna $$$\left(\frac{\sqrt{3} + 4}{2}, 3 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$$ (para etapas, consulte calculadora de rotação).

$$$\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}\right)$$$ se torna $$$\left(2 - \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3} + 6}{2}\right)$$$ (para etapas, consulte calculadora de rotação).

$$$x = 2 \sqrt{2}$$$ torna-se $$$\frac{\sqrt{2} \left(x + y\right)}{2} = 2 \sqrt{2}$$$ ou $$$y = 4 - x$$$.

$$$x = 3 \sqrt{2}$$$ torna-se $$$\frac{\sqrt{2} \left(x + y\right)}{2} = 3 \sqrt{2}$$$ ou $$$y = 6 - x$$$.

$$$\left(2 \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$$ se torna $$$\left(\frac{9}{4}, \frac{7}{4}\right)$$$ (para etapas, consulte calculadora de rotação).

$$$\left(2 \sqrt{2}, \frac{5 \sqrt{2}}{4}\right)$$$ se torna $$$\left(\frac{3}{4}, \frac{13}{4}\right)$$$ (para etapas, consulte calculadora de rotação).

$$$\left(3 \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$$ se torna $$$\left(\frac{13}{4}, \frac{11}{4}\right)$$$ (para etapas, consulte calculadora de rotação).

$$$\left(3 \sqrt{2}, \frac{5 \sqrt{2}}{4}\right)$$$ se torna $$$\left(\frac{7}{4}, \frac{17}{4}\right)$$$ (para etapas, consulte calculadora de rotação).

$$$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$ torna-se $$$\frac{\sqrt{2} \left(x + y\right)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$ ou $$$y = 1 - x$$$.

$$$x = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$$$ torna-se $$$\frac{\sqrt{2} \left(x + y\right)}{2} = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$$$ ou $$$y = 9 - x$$$.

As interceptações x podem ser encontradas definindo $$$y = 0$$$ na equação e resolvendo para $$$x$$$ (para conhecer as etapas, consulte calculadora de interceptações).

Como não há soluções reais, não há interceptações x.

As interceptações y podem ser encontradas definindo $$$x = 0$$$ na equação e resolvendo para $$$y$$$: (para conhecer as etapas, consulte calculadora de interceptações).

Como não há soluções reais, não há interceptações em y.

Forma geral/equação: $$$7 x^{2} - 2 x y - 22 x + 7 y^{2} - 38 y + 67 = 0$$$A.

Primeira forma/equação da diretriz de foco: $$$\left(x - \frac{3}{2}\right)^{2} + \left(y - \frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{\left(x + y - 1\right)^{2}}{8}$$$A.

Segunda forma/equação da diretriz de foco: $$$\left(x - \frac{5}{2}\right)^{2} + \left(y - \frac{7}{2}\right)^{2} = \frac{\left(x + y - 9\right)^{2}}{8}$$$A.

Gráfico: consulte a calculadora gráfica.

Centro: $$$\left(2, 3\right)$$$A.

Primeiro foco: $$$\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right) = \left(1.5, 2.5\right)$$$A.

Segundo foco: $$$\left(\frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right) = \left(2.5, 3.5\right)$$$A.

Primeiro vértice: $$$\left(1, 2\right)$$$A.

Segundo vértice: $$$\left(3, 4\right)$$$A.

Primeiro co-vértice: $$$\left(\frac{\sqrt{3} + 4}{2}, 3 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\approx \left(2.866025403784439, 2.133974596215561\right).$$$A

Segundo co-vértice: $$$\left(2 - \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3} + 6}{2}\right)\approx \left(1.133974596215561, 3.866025403784439\right).$$$A

Comprimento do eixo principal: $$$2 \sqrt{2}\approx 2.82842712474619$$$A.

Comprimento do semi-eixo maior: $$$\sqrt{2}\approx 1.414213562373095$$$A.

Comprimento do eixo menor: $$$\sqrt{6}\approx 2.449489742783178$$$A.

Comprimento do semi-eixo menor: $$$\frac{\sqrt{6}}{2}\approx 1.224744871391589$$$A.

Área: $$$\sqrt{3} \pi\approx 5.441398092702654$$$A.

Circunferência: $$$4 \sqrt{2} E\left(\frac{1}{4}\right)\approx 8.301219834871215$$$A.

Primeiro latus rectum: $$$y = 4 - x$$$A.

Segundo latus rectum: $$$y = 6 - x$$$A.

Endpoints do primeiro latus rectum: $$$\left(\frac{9}{4}, \frac{7}{4}\right) = \left(2.25, 1.75\right)$$$, $$$\left(\frac{3}{4}, \frac{13}{4}\right) = \left(0.75, 3.25\right)$$$A.

Endpoints do segundo latus rectum: $$$\left(\frac{13}{4}, \frac{11}{4}\right) = \left(3.25, 2.75\right)$$$, $$$\left(\frac{7}{4}, \frac{17}{4}\right) = \left(1.75, 4.25\right)$$$A.

Comprimento da latera recta (largura focal): $$$\frac{3 \sqrt{2}}{2}\approx 2.121320343559643$$$A.

Parâmetro focal: $$$\frac{3 \sqrt{2}}{2}\approx 2.121320343559643$$$A.

Excentricidade: $$$\frac{1}{2} = 0.5$$$A.

Excentricidade linear (distância focal): $$$\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707106781186548$$$A.

Primeira diretriz: $$$y = 1 - x$$$A.

Segunda diretriz: $$$y = 9 - x$$$A.

interceptações x: sem interceptações x

interceptações y: sem interceptações y

Domínio: $$$\left[2 - \frac{\sqrt{7}}{2}, \frac{\sqrt{7} + 4}{2}\right]\approx \left[0.677124344467705, 3.322875655532295\right].$$$A

Intervalo: $$$\left[3 - \frac{\sqrt{7}}{2}, \frac{\sqrt{7} + 6}{2}\right]\approx \left[1.677124344467705, 4.322875655532295\right].$$$A