Propriedades da elipse $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$

Encontre o centro, os focos, os vértices, os co-vértices, o comprimento do eixo maior, o comprimento do semieixo maior, o comprimento do eixo menor, o comprimento do semieixo menor, a área, o perímetro, as latera recta, o comprimento das latera recta (largura focal), o parâmetro focal, a excentricidade, a excentricidade linear (distância focal), as diretrizes, os interceptos em x, os interceptos em y, o domínio e a imagem da elipse $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$.

A equação de uma elipse é $$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} + \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$, onde $$$\left(h, k\right)$$$ é o centro e $$$b$$$ e $$$a$$$ são os comprimentos dos semieixos maior e menor.

Nossa elipse nesta forma é $$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{4} + \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{5} = 1$$$.

Assim, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 2$$$, $$$b = \sqrt{5}$$$.

A forma padrão é $$$\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}} = 1$$$.

A forma de vértice é $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$.

A forma geral é $$$5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0$$$.

A excentricidade linear (distância focal) é $$$c = \sqrt{b^{2} - a^{2}} = 1$$$.

A excentricidade é $$$e = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$$.

O primeiro foco é $$$\left(h, k - c\right) = \left(0, -1\right)$$$.

O segundo foco é $$$\left(h, k + c\right) = \left(0, 1\right)$$$.

O primeiro vértice é $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, - \sqrt{5}\right)$$$.

O segundo vértice é $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, \sqrt{5}\right)$$$.

O primeiro co-vértice é $$$\left(h - a, k\right) = \left(-2, 0\right)$$$.

O segundo co-vértice é $$$\left(h + a, k\right) = \left(2, 0\right)$$$.

O comprimento do eixo maior é $$$2 b = 2 \sqrt{5}$$$.

O comprimento do eixo menor é $$$2 a = 4$$$.

A área é $$$\pi a b = 2 \sqrt{5} \pi$$$.

O comprimento da circunferência é $$$4 b E\left(\frac{\pi}{2}\middle| e^{2}\right) = 4 \sqrt{5} E\left(\frac{1}{5}\right)$$$.

O parâmetro focal é a distância entre o foco e a diretriz: $$$\frac{a^{2}}{c} = 4$$$.

Os latera recta são as retas paralelas ao eixo menor que passam pelos focos.

O primeiro lado reto é $$$y = -1$$$.

O segundo lado reto é $$$y = 1$$$.

As extremidades do primeiro lado reto podem ser encontradas resolvendo o sistema $$$\begin{cases} 5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0 \\ y = -1 \end{cases}$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de sistemas de equações).

As extremidades do primeiro lado reto são $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)$$$.

As extremidades do segundo lado reto podem ser encontradas resolvendo o sistema $$$\begin{cases} 5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0 \\ y = 1 \end{cases}$$$ (para ver os passos, veja calculadora de sistemas de equações).

Os extremos do segundo lado reto são $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)$$$.

O comprimento dos lados retos (largura focal) é $$$\frac{2 a^{2}}{b} = \frac{8 \sqrt{5}}{5}$$$.

A primeira diretriz é $$$y = k - \frac{b^{2}}{c} = -5$$$.

A segunda diretriz é $$$y = k + \frac{b^{2}}{c} = 5$$$.

Os interceptos em x podem ser encontrados definindo $$$y = 0$$$ na equação e resolvendo em relação a $$$x$$$ (para as etapas, consulte calculadora de interceptos).

interceptos em x: $$$\left(-2, 0\right)$$$, $$$\left(2, 0\right)$$$

As interseções com o eixo y podem ser encontradas definindo $$$x = 0$$$ na equação e resolvendo para $$$y$$$: (para os passos, veja calculadora de interceptos).

interseções com o eixo y: $$$\left(0, - \sqrt{5}\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{5}\right)$$$

O domínio é $$$\left[h - a, h + a\right] = \left[-2, 2\right]$$$.

O conjunto imagem é $$$\left[k - b, k + b\right] = \left[- \sqrt{5}, \sqrt{5}\right]$$$.

Forma padrão/equação: $$$\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}} = 1$$$A.

Forma/equação de vértice: $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$A.

Forma/equação geral: $$$5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0$$$A.

Primeira forma/equação foco-diretriz: $$$x^{2} + \left(y + 1\right)^{2} = \frac{\left(y + 5\right)^{2}}{5}$$$A.

Segunda forma/equação foco-diretriz: $$$x^{2} + \left(y - 1\right)^{2} = \frac{\left(y - 5\right)^{2}}{5}$$$A.

Gráfico: veja a calculadora gráfica.

Centro: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Primeiro foco: $$$\left(0, -1\right)$$$A.

Segundo foco: $$$\left(0, 1\right)$$$A.

Primeiro vértice: $$$\left(0, - \sqrt{5}\right)\approx \left(0, -2.23606797749979\right)$$$A.

Segundo vértice: $$$\left(0, \sqrt{5}\right)\approx \left(0, 2.23606797749979\right)$$$A.

Primeiro co-vértice: $$$\left(-2, 0\right)$$$A.

Segundo co-vértice: $$$\left(2, 0\right)$$$A.

Comprimento do eixo maior: $$$2 \sqrt{5}\approx 4.472135954999579$$$A.

Comprimento do semieixo maior: $$$\sqrt{5}\approx 2.23606797749979$$$A.

Comprimento do eixo menor: $$$4$$$A.

Comprimento do semieixo menor: $$$2$$$A.

Área: $$$2 \sqrt{5} \pi\approx 14.049629462081453$$$A.

Circunferência: $$$4 \sqrt{5} E\left(\frac{1}{5}\right)\approx 13.318334443130703$$$A.

Primeiro lado reto: $$$y = -1$$$A.

Segundo lado reto: $$$y = 1$$$A.

Extremidades do primeiro lado reto: $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)\approx \left(-1.788854381999832, -1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)\approx \left(1.788854381999832, -1\right)$$$A.

Extremidades do segundo lado reto: $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)\approx \left(-1.788854381999832, 1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)\approx \left(1.788854381999832, 1\right)$$$A.

Comprimento dos lados retos (largura focal): $$$\frac{8 \sqrt{5}}{5}\approx 3.577708763999664$$$A.

Parâmetro focal: $$$4$$$A.

Excentricidade: $$$\frac{\sqrt{5}}{5}\approx 0.447213595499958$$$A.

Excentricidade linear (distância focal): $$$1$$$A.

Primeira diretriz: $$$y = -5$$$A.

Segunda diretriz: $$$y = 5$$$A.

Interseções com o eixo x: $$$\left(-2, 0\right)$$$, $$$\left(2, 0\right)$$$A.

interseções com o eixo y: $$$\left(0, - \sqrt{5}\right)\approx \left(0, -2.23606797749979\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{5}\right)\approx \left(0, 2.23606797749979\right)$$$A.

Domínio: $$$\left[-2, 2\right]$$$A.

Imagem: $$$\left[- \sqrt{5}, \sqrt{5}\right]\approx \left[-2.23606797749979, 2.23606797749979\right]$$$A.