|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Afgeleide van $$$e^{\frac{1}{x}}$$$
Gerelateerde rekenmachines: Rekenmachine voor logaritmisch differentiëren, Rekenmachine voor impliciete differentiatie met stappen
Uw invoer
Bepaal $$$\frac{d}{dx} \left(e^{\frac{1}{x}}\right)$$$.
Oplossing
De functie $$$e^{\frac{1}{x}}$$$ is de samenstelling $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ van twee functies $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ en $$$g{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$$.
Pas de kettingregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ toe:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{\frac{1}{x}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)}$$De afgeleide van de exponentiële functie is $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)$$Keer terug naar de oorspronkelijke variabele:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right) = e^{{\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}} \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)$$Pas de machtsregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ toe met $$$n = -1$$$:
$$e^{\frac{1}{x}} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)} = e^{\frac{1}{x}} {\color{red}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)}$$Dus, $$$\frac{d}{dx} \left(e^{\frac{1}{x}}\right) = - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$$$.
Antwoord
$$$\frac{d}{dx} \left(e^{\frac{1}{x}}\right) = - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$$$A