$$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right]$$$의 특이값 분해

$$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right]$$$의 SVD를 구하시오.

다음 행렬의 전치행렬을 구하십시오: $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\1 & 1\end{array}\right]$$$ (단계별 과정은 행렬 전치 계산기를 참조하세요.)

행렬을 그 전치와 곱하십시오: $$$W = \left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\1 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & 1\\1 & 1\end{array}\right]$$$ (풀이 단계는 행렬 곱셈 계산기를 참조하세요).

이제 $$$W$$$의 고유값과 고유벡터를 구하세요(단계는 고유값 및 고유벡터 계산기를 참조하세요).

고유값: $$$- \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$$$, 고유벡터: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]$$$.

고유값: $$$\frac{\sqrt{5} + 3}{2}$$$, 고유벡터: $$$\left[\begin{array}{c}\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]$$$.

영이 아닌 고유값($$$\sigma_{i}$$$)의 제곱근을 구하시오:

$$$\sigma_{1} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2}$$$

$$$\sigma_{2} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2}$$$

$$$\Sigma$$$ 행렬은 대각선 성분이 $$$\sigma_{i}$$$이고 나머지 원소가 모두 0인 행렬이다: $$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} & 0\\0 & \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2}\end{array}\right].$$$

행렬 $$$U$$$의 열은 정규화된(단위) 벡터들입니다: $$$U = \left[\begin{array}{cc}\frac{- \sqrt{10} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{5 - \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{\sqrt{5} + 5}}\\\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5 - \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 5}}\end{array}\right]$$$ (단위 벡터를 구하는 단계는 단위 벡터 계산기를 참조하세요).

이제, $$$v_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i}$$$:

$$$v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2}}\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{- \sqrt{10} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{5 - \sqrt{5}}}\\\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5 - \sqrt{5}}}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{1 - \sqrt{5}}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}}\\\frac{3 - \sqrt{5}}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}}\end{array}\right]$$$ (자세한 단계는 행렬의 스칼라배 계산기 및 행렬 곱셈 계산기를 참조하세요).

$$$v_{2} = \frac{1}{\sigma_{2}}\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{2} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2}}\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{\sqrt{5} + 5}}\\\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 5}}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5}}\\\frac{\sqrt{5} + 3}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5}}\end{array}\right]$$$ (자세한 단계는 행렬의 스칼라배 계산기 및 행렬 곱셈 계산기를 참조하세요).

따라서 $$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{1 - \sqrt{5}}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}} & \frac{1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5}}\\\frac{3 - \sqrt{5}}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{5} + 3}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5}}\end{array}\right].$$$

행렬 $$$U$$$, $$$\Sigma$$$, 및 $$$V$$$는 원래의 행렬이 $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right] = U \Sigma V^T$$$를 만족하도록 되어 있다.

$$$U = \left[\begin{array}{cc}\frac{- \sqrt{10} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{5 - \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{\sqrt{5} + 5}}\\\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5 - \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 5}}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}-0.525731112119134 & 0.85065080835204\\0.85065080835204 & 0.525731112119134\end{array}\right]$$$A

$$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} & 0\\0 & \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.618033988749895 & 0\\0 & 1.618033988749895\end{array}\right]$$$A

$$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{1 - \sqrt{5}}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}} & \frac{1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5}}\\\frac{3 - \sqrt{5}}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{5} + 3}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5}}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}-0.85065080835204 & 0.525731112119134\\0.525731112119134 & 0.85065080835204\end{array}\right]$$$A