함수에 대한 심프슨의 법칙 계산기

$$$n = 4$$$을 사용하여 심프슨의 공식으로 적분 $$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}\, dx$$$을 근사하시오.

포물선 규칙으로도 알려진 심프슨의 1/3 법칙은 포물선을 사용하여 넓이를 근사한다:

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \frac{\Delta x}{3} \left(f{\left(x_{0} \right)} + 4 f{\left(x_{1} \right)} + 2 f{\left(x_{2} \right)} + 4 f{\left(x_{3} \right)} + 2 f{\left(x_{4} \right)}+\dots+4 f{\left(x_{n-3} \right)} + 2 f{\left(x_{n-2} \right)} + 4 f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$$$

여기서 $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

다음이 성립한다: $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 1$$$, 및 $$$n = 4$$$.

따라서 $$$\Delta x = \frac{1 - 0}{4} = \frac{1}{4}$$$.

구간 $$$\left[0, 1\right]$$$을 길이가 $$$\Delta x = \frac{1}{4}$$$인 $$$n = 4$$$개의 부분구간으로 나누되, 끝점은 다음과 같다: $$$a = 0$$$, $$$\frac{1}{4}$$$, $$$\frac{1}{2}$$$, $$$\frac{3}{4}$$$, $$$1 = b$$$.

이제 이 끝점들에서 함수값만 계산하면 됩니다.

$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \frac{7^{\frac{2}{3}}}{7}\approx 0.52275795857471$$$

$$$4 f{\left(x_{1} \right)} = 4 f{\left(\frac{1}{4} \right)} = \frac{32 \sqrt[3]{2} \cdot 7169^{\frac{2}{3}}}{7169}\approx 2.09093460413808$$$

$$$2 f{\left(x_{2} \right)} = 2 f{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{4 \sqrt[3]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{15}\approx 1.043964704311697$$$

$$$4 f{\left(x_{3} \right)} = 4 f{\left(\frac{3}{4} \right)} = \frac{32 \sqrt[3]{2} \cdot 7411^{\frac{2}{3}}}{7411}\approx 2.067923042238355$$$

$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(1 \right)} = \frac{1}{2} = 0.5$$$

마지막으로 위의 값들을 모두 더한 다음 $$$\frac{\Delta x}{3} = \frac{1}{12}$$$를 곱합니다: $$$\frac{1}{12} \left(0.52275795857471 + 2.09093460413808 + 1.043964704311697 + 2.067923042238355 + 0.5\right) = 0.518798359105237.$$$

$$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}\, dx\approx 0.518798359105237$$$A