함수를 위한 심프슨의 3/8 법칙 계산기
심프슨의 3/8 법칙을 사용하여 (함수로 주어진) 정적분의 근삿값을 단계별로 구하기
사용자 입력
$$$n = 6$$$을 사용하여 심프슨의 3/8 법칙으로 적분 $$$\int\limits_{0}^{3} \sqrt{x^{3} + 5}\, dx$$$을 근사하시오.
풀이
심프슨의 3/8 법칙은 면적을 근사하는 데 3차 다항식을 사용합니다:
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \frac{3 \Delta x}{8} \left(f{\left(x_{0} \right)} + 3 f{\left(x_{1} \right)} + 3 f{\left(x_{2} \right)} + 2 f{\left(x_{3} \right)} + 3 f{\left(x_{4} \right)} + 3 f{\left(x_{5} \right)} + 2 f{\left(x_{6} \right)}+\dots+3 f{\left(x_{n-5} \right)} + 3 f{\left(x_{n-4} \right)} + 2 f{\left(x_{n-3} \right)} + 3 f{\left(x_{n-2} \right)} + 3 f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$$$
여기서 $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.
다음이 성립한다: $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{x^{3} + 5}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 3$$$, 및 $$$n = 6$$$.
따라서 $$$\Delta x = \frac{3 - 0}{6} = \frac{1}{2}$$$.
구간 $$$\left[0, 3\right]$$$을 길이가 $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$인 $$$n = 6$$$개의 부분구간으로 나누되, 끝점은 다음과 같다: $$$a = 0$$$, $$$\frac{1}{2}$$$, $$$1$$$, $$$\frac{3}{2}$$$, $$$2$$$, $$$\frac{5}{2}$$$, $$$3 = b$$$.
이제 이 끝점들에서 함수값만 계산하면 됩니다.
$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \sqrt{5}\approx 2.23606797749979$$$
$$$3 f{\left(x_{1} \right)} = 3 f{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{3 \sqrt{82}}{4}\approx 6.791538853603062$$$
$$$3 f{\left(x_{2} \right)} = 3 f{\left(1 \right)} = 3 \sqrt{6}\approx 7.348469228349534$$$
$$$2 f{\left(x_{3} \right)} = 2 f{\left(\frac{3}{2} \right)} = \frac{\sqrt{134}}{2}\approx 5.787918451395113$$$
$$$3 f{\left(x_{4} \right)} = 3 f{\left(2 \right)} = 3 \sqrt{13}\approx 10.816653826391968$$$
$$$3 f{\left(x_{5} \right)} = 3 f{\left(\frac{5}{2} \right)} = \frac{3 \sqrt{330}}{4}\approx 13.624426593438712$$$
$$$f{\left(x_{6} \right)} = f{\left(3 \right)} = 4 \sqrt{2}\approx 5.65685424949238$$$
마지막으로 위의 값들을 모두 더한 다음 $$$\frac{3 \Delta x}{8} = \frac{3}{16}$$$를 곱합니다: $$$\frac{3}{16} \left(2.23606797749979 + 6.791538853603062 + 7.348469228349534 + 5.787918451395113 + 10.816653826391968 + 13.624426593438712 + 5.65685424949238\right) = 9.79911172128198.$$$
정답
$$$\int\limits_{0}^{3} \sqrt{x^{3} + 5}\, dx\approx 9.79911172128198$$$A