함수에 대한 리만 합 계산기

$$$n = 4$$$을 사용하여 왼쪽 리만 합으로 적분 $$$\int\limits_{0}^{2} \sqrt[3]{x^{4} + 1}\, dx$$$을 근사하시오.

왼쪽 리만 합(왼쪽 끝점 근사라고도 함)은 근사 직사각형의 높이를 계산할 때 부분구간의 왼쪽 끝점을 사용한다:

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$$$

여기서 $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

다음이 성립한다: $$$f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x^{4} + 1}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 2$$$, 및 $$$n = 4$$$.

따라서 $$$\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2}$$$.

구간 $$$\left[0, 2\right]$$$을 길이가 $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$인 $$$n = 4$$$개의 부분구간으로 나누되, 끝점은 다음과 같다: $$$a = 0$$$, $$$\frac{1}{2}$$$, $$$1$$$, $$$\frac{3}{2}$$$, $$$2 = b$$$.

이제 부분구간의 왼쪽 끝점에서 함수값을 평가하세요.

$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = 1$$$

$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{\sqrt[3]{17} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{4}\approx 1.020413775479337$$$

$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(1 \right)} = \sqrt[3]{2}\approx 1.259921049894873$$$

$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{3}{2} \right)} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{97}}{4}\approx 1.82340825744217$$$

마지막으로 위의 값들을 모두 더한 다음 $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$를 곱합니다: $$$\frac{1}{2} \left(1 + 1.020413775479337 + 1.259921049894873 + 1.82340825744217\right) = 2.55187154140819.$$$

$$$\int\limits_{0}^{2} \sqrt[3]{x^{4} + 1}\, dx\approx 2.55187154140819$$$A