$$$x - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}$$$의 적분

$$$\int \left(x - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)\, dx$$$을(를) 구하시오.

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(x - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{x d x} - \int{\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} d x}\right)}}$$

멱법칙($$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=1$$$에 적용합니다:

$$- \int{\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} d x} + {\color{red}{\int{x d x}}}=- \int{\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- \int{\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

$$$u=x - 1$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(x - 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$\frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\int{\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} d x}}} = \frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=-2$$$에 적용합니다:

$$\frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}}=\frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\int{u^{-2} d u}}}=\frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\frac{u^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}=\frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\left(- u^{-1}\right)}}=\frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\left(- \frac{1}{u}\right)}}$$

다음 $$$u=x - 1$$$을 기억하라:

$$\frac{x^{2}}{2} + {\color{red}{u}}^{-1} = \frac{x^{2}}{2} + {\color{red}{\left(x - 1\right)}}^{-1}$$

따라서,

$$\int{\left(x - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)d x} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x - 1}$$

간단히 하시오:

$$\int{\left(x - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)d x} = \frac{x^{2} \left(x - 1\right) + 2}{2 \left(x - 1\right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\left(x - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)d x} = \frac{x^{2} \left(x - 1\right) + 2}{2 \left(x - 1\right)}+C$$

$$$\int \left(x - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)\, dx = \frac{x^{2} \left(x - 1\right) + 2}{2 \left(x - 1\right)} + C$$$A