$$$\coth{\left(x \right)}$$$의 적분

$$$\int \coth{\left(x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

쌍곡코탄젠트를 $$$\coth\left(x\right)=\frac{\cosh\left(x\right)}{\sinh\left(x\right)}$$$로 다시 쓰시오:

$${\color{red}{\int{\coth{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cosh{\left(x \right)}}{\sinh{\left(x \right)}} d x}}}$$

$$$u=\sinh{\left(x \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\sinh{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \cosh{\left(x \right)} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\cosh{\left(x \right)} dx = du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$${\color{red}{\int{\frac{\cosh{\left(x \right)}}{\sinh{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

다음 $$$u=\sinh{\left(x \right)}$$$을 기억하라:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\sinh{\left(x \right)}}}}\right| \right)}$$

따라서,

$$\int{\coth{\left(x \right)} d x} = \ln{\left(\left|{\sinh{\left(x \right)}}\right| \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\coth{\left(x \right)} d x} = \ln{\left(\left|{\sinh{\left(x \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \coth{\left(x \right)}\, dx = \ln\left(\left|{\sinh{\left(x \right)}}\right|\right) + C$$$A