$$$\coth{\left(x \right)}$$$の積分

$$$\int \coth{\left(x \right)}\, dx$$$ を求めよ。

双曲線余接を$$$\coth\left(x\right)=\frac{\cosh\left(x\right)}{\sinh\left(x\right)}$$$として書き換えてください:

$${\color{red}{\int{\coth{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cosh{\left(x \right)}}{\sinh{\left(x \right)}} d x}}}$$

$$$u=\sinh{\left(x \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\sinh{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \cosh{\left(x \right)} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\cosh{\left(x \right)} dx = du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\frac{\cosh{\left(x \right)}}{\sinh{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\sinh{\left(x \right)}$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\sinh{\left(x \right)}}}}\right| \right)}$$

したがって、

$$\int{\coth{\left(x \right)} d x} = \ln{\left(\left|{\sinh{\left(x \right)}}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\coth{\left(x \right)} d x} = \ln{\left(\left|{\sinh{\left(x \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \coth{\left(x \right)}\, dx = \ln\left(\left|{\sinh{\left(x \right)}}\right|\right) + C$$$A