$$$\operatorname{acsc}{\left(x \right)}$$$의 적분

$$$\int \operatorname{acsc}{\left(x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

적분 $$$\int{\operatorname{acsc}{\left(x \right)} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=\operatorname{acsc}{\left(x \right)}$$$와 $$$\operatorname{dv}=dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(\operatorname{acsc}{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=- \frac{\left|{x}\right|}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 1}} dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$${\color{red}{\int{\operatorname{acsc}{\left(x \right)} d x}}}={\color{red}{\left(\operatorname{acsc}{\left(x \right)} \cdot x-\int{x \cdot \left(- \frac{\left|{x}\right|}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 1}}\right) d x}\right)}}={\color{red}{\left(x \operatorname{acsc}{\left(x \right)} - \int{\left(- \frac{\left|{x}\right|}{x \sqrt{x^{2} - 1}}\right)d x}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$$$에 적용하세요:

$$x \operatorname{acsc}{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{\left|{x}\right|}{x \sqrt{x^{2} - 1}}\right)d x}}} = x \operatorname{acsc}{\left(x \right)} - {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x}\right)}}$$

$$$x=\cosh{\left(u \right)}$$$라 하자.

따라서 $$$dx=\left(\cosh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \sinh{\left(u \right)} du$$$ (풀이 과정은 »에서 볼 수 있습니다).

또한 $$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$가 성립한다.

따라서,

$$$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} = \frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}$$$

$$$\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( u \right)}$$$ 항등식을 사용하시오:

$$$\frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}=\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}}$$$

$$$\sinh{\left( u \right)} \ge 0$$$라고 가정하면, 다음을 얻습니다:

$$$\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{\sinh{\left( u \right)}}$$$

따라서,

$$x \operatorname{acsc}{\left(x \right)} + {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x}}} = x \operatorname{acsc}{\left(x \right)} + {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, du = c u$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$x \operatorname{acsc}{\left(x \right)} + {\color{red}{\int{1 d u}}} = x \operatorname{acsc}{\left(x \right)} + {\color{red}{u}}$$

다음 $$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$을 기억하라:

$$x \operatorname{acsc}{\left(x \right)} + {\color{red}{u}} = x \operatorname{acsc}{\left(x \right)} + {\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}}$$

따라서,

$$\int{\operatorname{acsc}{\left(x \right)} d x} = x \operatorname{acsc}{\left(x \right)} + \operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\operatorname{acsc}{\left(x \right)} d x} = x \operatorname{acsc}{\left(x \right)} + \operatorname{acosh}{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \operatorname{acsc}{\left(x \right)}\, dx = \left(x \operatorname{acsc}{\left(x \right)} + \operatorname{acosh}{\left(x \right)}\right) + C$$$A