$$$x^{2} \cos{\left(x \right)}$$$의 적분

$$$\int x^{2} \cos{\left(x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

적분 $$$\int{x^{2} \cos{\left(x \right)} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=x^{2}$$$와 $$$\operatorname{dv}=\cos{\left(x \right)} dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx=2 x dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{\cos{\left(x \right)} d x}=\sin{\left(x \right)}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$${\color{red}{\int{x^{2} \cos{\left(x \right)} d x}}}={\color{red}{\left(x^{2} \cdot \sin{\left(x \right)}-\int{\sin{\left(x \right)} \cdot 2 x d x}\right)}}={\color{red}{\left(x^{2} \sin{\left(x \right)} - \int{2 x \sin{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x \sin{\left(x \right)}$$$에 적용하세요:

$$x^{2} \sin{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{2 x \sin{\left(x \right)} d x}}} = x^{2} \sin{\left(x \right)} - {\color{red}{\left(2 \int{x \sin{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

적분 $$$\int{x \sin{\left(x \right)} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=x$$$와 $$$\operatorname{dv}=\sin{\left(x \right)} dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{\sin{\left(x \right)} d x}=- \cos{\left(x \right)}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

적분은 다음과 같이 됩니다.

$$x^{2} \sin{\left(x \right)} - 2 {\color{red}{\int{x \sin{\left(x \right)} d x}}}=x^{2} \sin{\left(x \right)} - 2 {\color{red}{\left(x \cdot \left(- \cos{\left(x \right)}\right)-\int{\left(- \cos{\left(x \right)}\right) \cdot 1 d x}\right)}}=x^{2} \sin{\left(x \right)} - 2 {\color{red}{\left(- x \cos{\left(x \right)} - \int{\left(- \cos{\left(x \right)}\right)d x}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$$에 적용하세요:

$$x^{2} \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} + 2 {\color{red}{\int{\left(- \cos{\left(x \right)}\right)d x}}} = x^{2} \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} + 2 {\color{red}{\left(- \int{\cos{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(x \right)} d x} = \sin{\left(x \right)}$$$:

$$x^{2} \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} - 2 {\color{red}{\int{\cos{\left(x \right)} d x}}} = x^{2} \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} - 2 {\color{red}{\sin{\left(x \right)}}}$$

따라서,

$$\int{x^{2} \cos{\left(x \right)} d x} = x^{2} \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{x^{2} \cos{\left(x \right)} d x} = x^{2} \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}+C$$

$$$\int x^{2} \cos{\left(x \right)}\, dx = \left(x^{2} \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) + C$$$A