$$$x^{2} \cos{\left(x \right)}$$$の積分

$$$\int x^{2} \cos{\left(x \right)}\, dx$$$ を求めよ。

積分 $$$\int{x^{2} \cos{\left(x \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=x^{2}$$$ と $$$\operatorname{dv}=\cos{\left(x \right)} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx=2 x dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{\cos{\left(x \right)} d x}=\sin{\left(x \right)}$$$（手順は»を参照）。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{x^{2} \cos{\left(x \right)} d x}}}={\color{red}{\left(x^{2} \cdot \sin{\left(x \right)}-\int{\sin{\left(x \right)} \cdot 2 x d x}\right)}}={\color{red}{\left(x^{2} \sin{\left(x \right)} - \int{2 x \sin{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x \sin{\left(x \right)}$$$ に対して適用する:

$$x^{2} \sin{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{2 x \sin{\left(x \right)} d x}}} = x^{2} \sin{\left(x \right)} - {\color{red}{\left(2 \int{x \sin{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

積分 $$$\int{x \sin{\left(x \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=x$$$ と $$$\operatorname{dv}=\sin{\left(x \right)} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{\sin{\left(x \right)} d x}=- \cos{\left(x \right)}$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$$x^{2} \sin{\left(x \right)} - 2 {\color{red}{\int{x \sin{\left(x \right)} d x}}}=x^{2} \sin{\left(x \right)} - 2 {\color{red}{\left(x \cdot \left(- \cos{\left(x \right)}\right)-\int{\left(- \cos{\left(x \right)}\right) \cdot 1 d x}\right)}}=x^{2} \sin{\left(x \right)} - 2 {\color{red}{\left(- x \cos{\left(x \right)} - \int{\left(- \cos{\left(x \right)}\right)d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$$ に対して適用する:

$$x^{2} \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} + 2 {\color{red}{\int{\left(- \cos{\left(x \right)}\right)d x}}} = x^{2} \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} + 2 {\color{red}{\left(- \int{\cos{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

余弦の積分は$$$\int{\cos{\left(x \right)} d x} = \sin{\left(x \right)}$$$:

$$x^{2} \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} - 2 {\color{red}{\int{\cos{\left(x \right)} d x}}} = x^{2} \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} - 2 {\color{red}{\sin{\left(x \right)}}}$$

したがって、

$$\int{x^{2} \cos{\left(x \right)} d x} = x^{2} \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{x^{2} \cos{\left(x \right)} d x} = x^{2} \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}+C$$

$$$\int x^{2} \cos{\left(x \right)}\, dx = \left(x^{2} \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) + C$$$A