$$$x^{2} \left(6 - x^{3}\right)^{5}$$$의 적분

$$$\int x^{2} \left(6 - x^{3}\right)^{5}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=6 - x^{3}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(6 - x^{3}\right)^{\prime }dx = - 3 x^{2} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$x^{2} dx = - \frac{du}{3}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$${\color{red}{\int{x^{2} \left(6 - x^{3}\right)^{5} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{u^{5}}{3}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=- \frac{1}{3}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = u^{5}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{u^{5}}{3}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{u^{5} d u}}{3}\right)}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=5$$$에 적용합니다:

$$- \frac{{\color{red}{\int{u^{5} d u}}}}{3}=- \frac{{\color{red}{\frac{u^{1 + 5}}{1 + 5}}}}{3}=- \frac{{\color{red}{\left(\frac{u^{6}}{6}\right)}}}{3}$$

다음 $$$u=6 - x^{3}$$$을 기억하라:

$$- \frac{{\color{red}{u}}^{6}}{18} = - \frac{{\color{red}{\left(6 - x^{3}\right)}}^{6}}{18}$$

따라서,

$$\int{x^{2} \left(6 - x^{3}\right)^{5} d x} = - \frac{\left(6 - x^{3}\right)^{6}}{18}$$

간단히 하시오:

$$\int{x^{2} \left(6 - x^{3}\right)^{5} d x} = - \frac{\left(x^{3} - 6\right)^{6}}{18}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{x^{2} \left(6 - x^{3}\right)^{5} d x} = - \frac{\left(x^{3} - 6\right)^{6}}{18}+C$$

$$$\int x^{2} \left(6 - x^{3}\right)^{5}\, dx = - \frac{\left(x^{3} - 6\right)^{6}}{18} + C$$$A