$$$x^{2} \left(6 - x^{3}\right)^{5}$$$の積分

$$$\int x^{2} \left(6 - x^{3}\right)^{5}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=6 - x^{3}$$$ とする。

すると $$$du=\left(6 - x^{3}\right)^{\prime }dx = - 3 x^{2} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$x^{2} dx = - \frac{du}{3}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{x^{2} \left(6 - x^{3}\right)^{5} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{u^{5}}{3}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=- \frac{1}{3}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = u^{5}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{u^{5}}{3}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{u^{5} d u}}{3}\right)}}$$

$$$n=5$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- \frac{{\color{red}{\int{u^{5} d u}}}}{3}=- \frac{{\color{red}{\frac{u^{1 + 5}}{1 + 5}}}}{3}=- \frac{{\color{red}{\left(\frac{u^{6}}{6}\right)}}}{3}$$

次のことを思い出してください $$$u=6 - x^{3}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{u}}^{6}}{18} = - \frac{{\color{red}{\left(6 - x^{3}\right)}}^{6}}{18}$$

したがって、

$$\int{x^{2} \left(6 - x^{3}\right)^{5} d x} = - \frac{\left(6 - x^{3}\right)^{6}}{18}$$

簡単化せよ:

$$\int{x^{2} \left(6 - x^{3}\right)^{5} d x} = - \frac{\left(x^{3} - 6\right)^{6}}{18}$$

積分定数を加える:

$$\int{x^{2} \left(6 - x^{3}\right)^{5} d x} = - \frac{\left(x^{3} - 6\right)^{6}}{18}+C$$

$$$\int x^{2} \left(6 - x^{3}\right)^{5}\, dx = - \frac{\left(x^{3} - 6\right)^{6}}{18} + C$$$A