$$$\tan^{3}{\left(x \right)}$$$의 적분

$$$\int \tan^{3}{\left(x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\tan{\left(x \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$x=\operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$ 및 $$$dx=\left(\operatorname{atan}{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \frac{du}{u^{2} + 1}$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다).

적분은 다음과 같이 됩니다.

$${\color{red}{\int{\tan^{3}{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{u^{3}}{u^{2} + 1} d u}}}$$

분자의 차수가 분모의 차수보다 크거나 같으므로 다항식의 긴 나눗셈을 수행하십시오(단계는 »에서 볼 수 있습니다):

$${\color{red}{\int{\frac{u^{3}}{u^{2} + 1} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(u - \frac{u}{u^{2} + 1}\right)d u}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(u - \frac{u}{u^{2} + 1}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(\int{u d u} - \int{\frac{u}{u^{2} + 1} d u}\right)}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=1$$$에 적용합니다:

$$- \int{\frac{u}{u^{2} + 1} d u} + {\color{red}{\int{u d u}}}=- \int{\frac{u}{u^{2} + 1} d u} + {\color{red}{\frac{u^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- \int{\frac{u}{u^{2} + 1} d u} + {\color{red}{\left(\frac{u^{2}}{2}\right)}}$$

$$$v=u^{2} + 1$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(u^{2} + 1\right)^{\prime }du = 2 u du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$u du = \frac{dv}{2}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$$\frac{u^{2}}{2} - {\color{red}{\int{\frac{u}{u^{2} + 1} d u}}} = \frac{u^{2}}{2} - {\color{red}{\int{\frac{1}{2 v} d v}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$에 적용하세요:

$$\frac{u^{2}}{2} - {\color{red}{\int{\frac{1}{2 v} d v}}} = \frac{u^{2}}{2} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2}\right)}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$\frac{u^{2}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2} = \frac{u^{2}}{2} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{2}$$

다음 $$$v=u^{2} + 1$$$을 기억하라:

$$\frac{u^{2}}{2} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{2} = \frac{u^{2}}{2} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u^{2} + 1\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

다음 $$$u=\tan{\left(x \right)}$$$을 기억하라:

$$- \frac{\ln{\left(1 + {\color{red}{u}}^{2} \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{u}}^{2}}{2} = - \frac{\ln{\left(1 + {\color{red}{\tan{\left(x \right)}}}^{2} \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\tan{\left(x \right)}}}^{2}}{2}$$

따라서,

$$\int{\tan^{3}{\left(x \right)} d x} = - \frac{\ln{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\tan^{3}{\left(x \right)} d x} = - \frac{\ln{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2}+C$$

$$$\int \tan^{3}{\left(x \right)}\, dx = \left(- \frac{\ln\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{2} + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2}\right) + C$$$A