$$$\tan^{3}{\left(x \right)}$$$の積分

$$$\int \tan^{3}{\left(x \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\tan{\left(x \right)}$$$ とする。

すると $$$x=\operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$ および $$$dx=\left(\operatorname{atan}{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \frac{du}{u^{2} + 1}$$$（手順は»で確認できます）。

したがって、

$${\color{red}{\int{\tan^{3}{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{u^{3}}{u^{2} + 1} d u}}}$$

分子の次数が分母の次数以上であるため、多項式の長除法を行います（手順は»で確認できます）:

$${\color{red}{\int{\frac{u^{3}}{u^{2} + 1} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(u - \frac{u}{u^{2} + 1}\right)d u}}}$$

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(u - \frac{u}{u^{2} + 1}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(\int{u d u} - \int{\frac{u}{u^{2} + 1} d u}\right)}}$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- \int{\frac{u}{u^{2} + 1} d u} + {\color{red}{\int{u d u}}}=- \int{\frac{u}{u^{2} + 1} d u} + {\color{red}{\frac{u^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- \int{\frac{u}{u^{2} + 1} d u} + {\color{red}{\left(\frac{u^{2}}{2}\right)}}$$

$$$v=u^{2} + 1$$$ とする。

すると $$$dv=\left(u^{2} + 1\right)^{\prime }du = 2 u du$$$（手順は»で確認できます）、$$$u du = \frac{dv}{2}$$$ となります。

したがって、

$$\frac{u^{2}}{2} - {\color{red}{\int{\frac{u}{u^{2} + 1} d u}}} = \frac{u^{2}}{2} - {\color{red}{\int{\frac{1}{2 v} d v}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$ に対して適用する:

$$\frac{u^{2}}{2} - {\color{red}{\int{\frac{1}{2 v} d v}}} = \frac{u^{2}}{2} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2}\right)}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$ です:

$$\frac{u^{2}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2} = \frac{u^{2}}{2} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$v=u^{2} + 1$$$:

$$\frac{u^{2}}{2} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{2} = \frac{u^{2}}{2} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u^{2} + 1\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$u=\tan{\left(x \right)}$$$:

$$- \frac{\ln{\left(1 + {\color{red}{u}}^{2} \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{u}}^{2}}{2} = - \frac{\ln{\left(1 + {\color{red}{\tan{\left(x \right)}}}^{2} \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\tan{\left(x \right)}}}^{2}}{2}$$

したがって、

$$\int{\tan^{3}{\left(x \right)} d x} = - \frac{\ln{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\tan^{3}{\left(x \right)} d x} = - \frac{\ln{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2}+C$$

$$$\int \tan^{3}{\left(x \right)}\, dx = \left(- \frac{\ln\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{2} + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2}\right) + C$$$A