$$$\frac{\ln^{5}\left(u^{2}\right)}{u}$$$의 적분

$$$\int \frac{\ln^{5}\left(u^{2}\right)}{u}\, du$$$을(를) 구하시오.

입력이 다음과 같이 다시 쓰입니다: $$$\int{\frac{\ln{\left(u^{2} \right)}^{5}}{u} d u}=\int{\frac{32 \ln{\left(u \right)}^{5}}{u} d u}$$$.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=32$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{\ln{\left(u \right)}^{5}}{u}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{32 \ln{\left(u \right)}^{5}}{u} d u}}} = {\color{red}{\left(32 \int{\frac{\ln{\left(u \right)}^{5}}{u} d u}\right)}}$$

$$$v=\ln{\left(u \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \frac{du}{u}$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\frac{du}{u} = dv$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$32 {\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}^{5}}{u} d u}}} = 32 {\color{red}{\int{v^{5} d v}}}$$

멱법칙($$$\int v^{n}\, dv = \frac{v^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=5$$$에 적용합니다:

$$32 {\color{red}{\int{v^{5} d v}}}=32 {\color{red}{\frac{v^{1 + 5}}{1 + 5}}}=32 {\color{red}{\left(\frac{v^{6}}{6}\right)}}$$

다음 $$$v=\ln{\left(u \right)}$$$을 기억하라:

$$\frac{16 {\color{red}{v}}^{6}}{3} = \frac{16 {\color{red}{\ln{\left(u \right)}}}^{6}}{3}$$

따라서,

$$\int{\frac{32 \ln{\left(u \right)}^{5}}{u} d u} = \frac{16 \ln{\left(u \right)}^{6}}{3}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{32 \ln{\left(u \right)}^{5}}{u} d u} = \frac{16 \ln{\left(u \right)}^{6}}{3}+C$$

$$$\int \frac{\ln^{5}\left(u^{2}\right)}{u}\, du = \frac{16 \ln^{6}\left(u\right)}{3} + C$$$A