$$$\frac{\ln^{5}\left(u^{2}\right)}{u}$$$の積分

$$$\int \frac{\ln^{5}\left(u^{2}\right)}{u}\, du$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\frac{\ln{\left(u^{2} \right)}^{5}}{u} d u}=\int{\frac{32 \ln{\left(u \right)}^{5}}{u} d u}$$$。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=32$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{\ln{\left(u \right)}^{5}}{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{32 \ln{\left(u \right)}^{5}}{u} d u}}} = {\color{red}{\left(32 \int{\frac{\ln{\left(u \right)}^{5}}{u} d u}\right)}}$$

$$$v=\ln{\left(u \right)}$$$ とする。

すると $$$dv=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \frac{du}{u}$$$（手順は»で確認できます）、$$$\frac{du}{u} = dv$$$ となります。

したがって、

$$32 {\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}^{5}}{u} d u}}} = 32 {\color{red}{\int{v^{5} d v}}}$$

$$$n=5$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int v^{n}\, dv = \frac{v^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$32 {\color{red}{\int{v^{5} d v}}}=32 {\color{red}{\frac{v^{1 + 5}}{1 + 5}}}=32 {\color{red}{\left(\frac{v^{6}}{6}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$v=\ln{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{16 {\color{red}{v}}^{6}}{3} = \frac{16 {\color{red}{\ln{\left(u \right)}}}^{6}}{3}$$

したがって、

$$\int{\frac{32 \ln{\left(u \right)}^{5}}{u} d u} = \frac{16 \ln{\left(u \right)}^{6}}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{32 \ln{\left(u \right)}^{5}}{u} d u} = \frac{16 \ln{\left(u \right)}^{6}}{3}+C$$

$$$\int \frac{\ln^{5}\left(u^{2}\right)}{u}\, du = \frac{16 \ln^{6}\left(u\right)}{3} + C$$$A