$$$\frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$$의 적분

$$$\int \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

분자와 분모에 $$$\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$$를 곱하고 $$$\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$$를 $$$\frac{1}{\tan^{2}{\left(x \right)}}$$$로 변환합니다:

$${\color{red}{\int{\frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} d x}}}$$

분자와 분모에 $$$\cos^{2}{\left(x \right)}$$$를 곱하고 $$$\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$$를 $$$\sec^{2}{\left(x \right)}$$$로 변환합니다:

$${\color{red}{\int{\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} d x}}}$$

$$$\cos^{2}{\left(x \right)}=\frac{1}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}$$$ 공식을 사용하여 코사인을 탄젠트의 함수로 나타내시오.:

$${\color{red}{\int{\frac{\cos^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \tan^{2}{\left(x \right)}} d x}}}$$

$$$u=\tan{\left(x \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\tan{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \sec^{2}{\left(x \right)} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\sec^{2}{\left(x \right)} dx = du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \tan^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} \left(u^{2} + 1\right)^{2}} d u}}}$$

부분분수분해를 수행합니다(단계는 »에서 볼 수 있습니다):

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} \left(u^{2} + 1\right)^{2}} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u^{2} + 1} - \frac{1}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{u^{2}}\right)d u}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u^{2} + 1} - \frac{1}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{u^{2}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{u^{2}} d u} - \int{\frac{1}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}} d u} - \int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}\right)}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=-2$$$에 적용합니다:

$$- \int{\frac{1}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}} d u} - \int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} + {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}}=- \int{\frac{1}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}} d u} - \int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} + {\color{red}{\int{u^{-2} d u}}}=- \int{\frac{1}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}} d u} - \int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} + {\color{red}{\frac{u^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}=- \int{\frac{1}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}} d u} - \int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} + {\color{red}{\left(- u^{-1}\right)}}=- \int{\frac{1}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}} d u} - \int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} + {\color{red}{\left(- \frac{1}{u}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u^{2} + 1}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$:

$$- \int{\frac{1}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}} d u} - {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}} - \frac{1}{u} = - \int{\frac{1}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}} d u} - {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}} - \frac{1}{u}$$

적분 $$$\int{\frac{1}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}} d u}$$$을 계산하려면, 적분 $$$\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}$$$에 부분적분법 $$$\int \operatorname{c} \operatorname{dv} = \operatorname{c}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dc}$$$을 적용하십시오.

$$$\operatorname{c}=\frac{1}{u^{2} + 1}$$$와 $$$\operatorname{dv}=du$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{dc}=\left(\frac{1}{u^{2} + 1}\right)^{\prime }du=- \frac{2 u}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}} du$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$$\int{\frac{1}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}} d u}=\frac{1}{u^{2} + 1} \cdot u-\int{u \cdot \left(- \frac{2 u}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}}\right) d u}=\frac{u}{u^{2} + 1} - \int{\left(- \frac{2 u^{2}}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}}\right)d u}$$

상수를 인수로 묶으세요:

$$\frac{u}{u^{2} + 1} - \int{\left(- \frac{2 u^{2}}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}}\right)d u}=\frac{u}{u^{2} + 1} + 2 \int{\frac{u^{2}}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}} d u}$$

피적분함수의 분자를 $$$u^{2}=u^{2}{\color{red}{+1}}{\color{red}{-1}}$$$로 다시 쓰고 분리하십시오:

$$\frac{u}{u^{2} + 1} + 2 \int{\frac{u^{2}}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}} d u}=\frac{u}{u^{2} + 1} + 2 \int{\left(- \frac{1}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{u^{2} + 1}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}}\right)d u}=\frac{u}{u^{2} + 1} + 2 \int{\left(\frac{1}{u^{2} + 1} - \frac{1}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}}\right)d u}$$

적분을 분리하시오:

$$\frac{u}{u^{2} + 1} + 2 \int{\left(\frac{1}{u^{2} + 1} - \frac{1}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}}\right)d u}=\frac{u}{u^{2} + 1} - 2 \int{\frac{1}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}} d u} + 2 \int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}$$

따라서 적분에 관한 다음과 같은 간단한 선형 방정식을 얻는다:

$$\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}=\frac{u}{u^{2} + 1} + 2 \int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} - 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}} d u}}}$$

이를 풀면 다음을 얻는다.

$$\int{\frac{1}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}} d u}=\frac{u}{2 \left(u^{2} + 1\right)} + \frac{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}{2}$$

따라서,

$$- \operatorname{atan}{\left(u \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{\left(u^{2} + 1\right)^{2}} d u}}} - \frac{1}{u} = - \operatorname{atan}{\left(u \right)} - {\color{red}{\left(\frac{u}{2 \left(u^{2} + 1\right)} + \frac{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}{2}\right)}} - \frac{1}{u}$$

$$$\frac{1}{u^{2} + 1}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$:

$$- \frac{u}{2 \left(u^{2} + 1\right)} - \operatorname{atan}{\left(u \right)} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}}}{2} - \frac{1}{u} = - \frac{u}{2 \left(u^{2} + 1\right)} - \operatorname{atan}{\left(u \right)} - \frac{{\color{red}{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}}}{2} - \frac{1}{u}$$

다음 $$$u=\tan{\left(x \right)}$$$을 기억하라:

$$- \frac{3 \operatorname{atan}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} - {\color{red}{u}}^{-1} - \frac{{\color{red}{u}} \left(1 + {\color{red}{u}}^{2}\right)^{-1}}{2} = - \frac{3 \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\tan{\left(x \right)}}} \right)}}{2} - {\color{red}{\tan{\left(x \right)}}}^{-1} - \frac{{\color{red}{\tan{\left(x \right)}}} \left(1 + {\color{red}{\tan{\left(x \right)}}}^{2}\right)^{-1}}{2}$$

따라서,

$$\int{\frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} d x} = - \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} - \frac{\tan{\left(x \right)}}{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}$$

간단히 하시오:

$$\int{\frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} d x} = - \frac{3 x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} d x} = - \frac{3 x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}+C$$

$$$\int \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx = \left(- \frac{3 x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}\right) + C$$$A