$$$\frac{x^{15} \ln\left(x^{16}\right)}{16}$$$의 적분

$$$\int \frac{x^{15} \ln\left(x^{16}\right)}{16}\, dx$$$을(를) 구하시오.

입력이 다음과 같이 다시 쓰입니다: $$$\int{\frac{x^{15} \ln{\left(x^{16} \right)}}{16} d x}=\int{x^{15} \ln{\left(x \right)} d x}$$$.

적분 $$$\int{x^{15} \ln{\left(x \right)} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$와 $$$\operatorname{dv}=x^{15} dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{x^{15} d x}=\frac{x^{16}}{16}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$${\color{red}{\int{x^{15} \ln{\left(x \right)} d x}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot \frac{x^{16}}{16}-\int{\frac{x^{16}}{16} \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}={\color{red}{\left(\frac{x^{16} \ln{\left(x \right)}}{16} - \int{\frac{x^{15}}{16} d x}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{16}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x^{15}$$$에 적용하세요:

$$\frac{x^{16} \ln{\left(x \right)}}{16} - {\color{red}{\int{\frac{x^{15}}{16} d x}}} = \frac{x^{16} \ln{\left(x \right)}}{16} - {\color{red}{\left(\frac{\int{x^{15} d x}}{16}\right)}}$$

멱법칙($$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=15$$$에 적용합니다:

$$\frac{x^{16} \ln{\left(x \right)}}{16} - \frac{{\color{red}{\int{x^{15} d x}}}}{16}=\frac{x^{16} \ln{\left(x \right)}}{16} - \frac{{\color{red}{\frac{x^{1 + 15}}{1 + 15}}}}{16}=\frac{x^{16} \ln{\left(x \right)}}{16} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{x^{16}}{16}\right)}}}{16}$$

따라서,

$$\int{x^{15} \ln{\left(x \right)} d x} = \frac{x^{16} \ln{\left(x \right)}}{16} - \frac{x^{16}}{256}$$

간단히 하시오:

$$\int{x^{15} \ln{\left(x \right)} d x} = \frac{x^{16} \left(16 \ln{\left(x \right)} - 1\right)}{256}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{x^{15} \ln{\left(x \right)} d x} = \frac{x^{16} \left(16 \ln{\left(x \right)} - 1\right)}{256}+C$$

$$$\int \frac{x^{15} \ln\left(x^{16}\right)}{16}\, dx = \frac{x^{16} \left(16 \ln\left(x\right) - 1\right)}{256} + C$$$A