$$$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}}$$$의 적분

$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$x=2 \cosh{\left(u \right)}$$$라 하자.

따라서 $$$dx=\left(2 \cosh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = 2 \sinh{\left(u \right)} du$$$ (풀이 과정은 »에서 볼 수 있습니다).

또한 $$$u=\operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$가 성립한다.

피적분함수는 다음과 같이 바뀝니다

$$$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}} = \frac{1}{\sqrt{4 \cosh^{2}{\left( u \right)} - 4}}$$$

$$$\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( u \right)}$$$ 항등식을 사용하시오:

$$$\frac{1}{\sqrt{4 \cosh^{2}{\left( u \right)} - 4}}=\frac{1}{2 \sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}=\frac{1}{2 \sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}}$$$

$$$\sinh{\left( u \right)} \ge 0$$$라고 가정하면, 다음을 얻습니다:

$$$\frac{1}{2 \sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{2 \sinh{\left( u \right)}}$$$

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, du = c u$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

다음 $$$u=\operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$을 기억하라:

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}$$

따라서,

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}} d x} = \operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}} d x} = \operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{2} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}}\, dx = \operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{2} \right)} + C$$$A