$$$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$x=2 \cosh{\left(u \right)}$$$ とする。

すると $$$dx=\left(2 \cosh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = 2 \sinh{\left(u \right)} du$$$ (手順は»で確認できます)。

また、$$$u=\operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$が成り立つ。

したがって、

$$$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}} = \frac{1}{\sqrt{4 \cosh^{2}{\left( u \right)} - 4}}$$$

恒等式 $$$\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( u \right)}$$$ を用いよ:

$$$\frac{1}{\sqrt{4 \cosh^{2}{\left( u \right)} - 4}}=\frac{1}{2 \sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}=\frac{1}{2 \sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}}$$$

$$$\sinh{\left( u \right)} \ge 0$$$ を仮定すると、以下が得られる:

$$$\frac{1}{2 \sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{2 \sinh{\left( u \right)}}$$$

積分は次のようになる

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$:

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}} d x} = \operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}} d x} = \operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{2} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}}\, dx = \operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{2} \right)} + C$$$A