Intégrale de $$$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}}$$$

Déterminez $$$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}}\, dx$$$.

Soit $$$x=2 \cosh{\left(u \right)}$$$.

Alors $$$dx=\left(2 \cosh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = 2 \sinh{\left(u \right)} du$$$ (les étapes peuvent être vues »).

De plus, il s'ensuit que $$$u=\operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$.

Donc,

$$$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}} = \frac{1}{\sqrt{4 \cosh^{2}{\left( u \right)} - 4}}$$$

Utilisez l'identité $$$\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( u \right)}$$$ :

$$$\frac{1}{\sqrt{4 \cosh^{2}{\left( u \right)} - 4}}=\frac{1}{2 \sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}=\frac{1}{2 \sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}}$$$

En supposant que $$$\sinh{\left( u \right)} \ge 0$$$, nous obtenons ce qui suit :

$$$\frac{1}{2 \sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{2 \sinh{\left( u \right)}}$$$

L’intégrale peut se réécrire sous la forme

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, du = c u$$$ avec $$$c=1$$$:

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

Rappelons que $$$u=\operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$ :

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}} d x} = \operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}} d x} = \operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{2} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}}\, dx = \operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{2} \right)} + C$$$A