$$$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=x - 1$$$ とする。

すると $$$du=\left(x - 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}}$$

$$$n=-2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}}={\color{red}{\int{u^{-2} d u}}}={\color{red}{\frac{u^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}={\color{red}{\left(- u^{-1}\right)}}={\color{red}{\left(- \frac{1}{u}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x - 1$$$:

$$- {\color{red}{u}}^{-1} = - {\color{red}{\left(x - 1\right)}}^{-1}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} d x} = - \frac{1}{x - 1}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} d x} = - \frac{1}{x - 1}+C$$

$$$\int \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\, dx = - \frac{1}{x - 1} + C$$$A