$$$a m x^{3} e^{- l}$$$ の $$$a$$$ に関する積分

$$$\int a m x^{3} e^{- l}\, da$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(a \right)}\, da = c \int f{\left(a \right)}\, da$$$ を、$$$c=m x^{3} e^{- l}$$$ と $$$f{\left(a \right)} = a$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{a m x^{3} e^{- l} d a}}} = {\color{red}{m x^{3} e^{- l} \int{a d a}}}$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int a^{n}\, da = \frac{a^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$m x^{3} e^{- l} {\color{red}{\int{a d a}}}=m x^{3} e^{- l} {\color{red}{\frac{a^{1 + 1}}{1 + 1}}}=m x^{3} e^{- l} {\color{red}{\left(\frac{a^{2}}{2}\right)}}$$

したがって、

$$\int{a m x^{3} e^{- l} d a} = \frac{a^{2} m x^{3} e^{- l}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{a m x^{3} e^{- l} d a} = \frac{a^{2} m x^{3} e^{- l}}{2}+C$$

$$$\int a m x^{3} e^{- l}\, da = \frac{a^{2} m x^{3} e^{- l}}{2} + C$$$A