$$$\frac{x}{x - 1}$$$の積分

$$$\int \frac{x}{x - 1}\, dx$$$ を求めよ。

分数を変形して分解する:

$${\color{red}{\int{\frac{x}{x - 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(1 + \frac{1}{x - 1}\right)d x}}}$$

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(1 + \frac{1}{x - 1}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d x} + \int{\frac{1}{x - 1} d x}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$\int{\frac{1}{x - 1} d x} + {\color{red}{\int{1 d x}}} = \int{\frac{1}{x - 1} d x} + {\color{red}{x}}$$

$$$u=x - 1$$$ とする。

すると $$$du=\left(x - 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$$x + {\color{red}{\int{\frac{1}{x - 1} d x}}} = x + {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$x + {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = x + {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x - 1$$$:

$$x + \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = x + \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 1\right)}}}\right| \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{x}{x - 1} d x} = x + \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{x}{x - 1} d x} = x + \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{x}{x - 1}\, dx = \left(x + \ln\left(\left|{x - 1}\right|\right)\right) + C$$$A