$$$\frac{x}{x^{2} - 1}$$$の積分

$$$\int \frac{x}{x^{2} - 1}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=x^{2} - 1$$$ とする。

すると $$$du=\left(x^{2} - 1\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$x dx = \frac{du}{2}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{x}{x^{2} - 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{2}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$u=x^{2} - 1$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x^{2} - 1\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

したがって、

$$\int{\frac{x}{x^{2} - 1} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} - 1}\right| \right)}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{x}{x^{2} - 1} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} - 1}\right| \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{x}{x^{2} - 1}\, dx = \frac{\ln\left(\left|{x^{2} - 1}\right|\right)}{2} + C$$$A