Integrale di $$$\frac{x}{x^{2} - 1}$$$

Trova $$$\int \frac{x}{x^{2} - 1}\, dx$$$.

Sia $$$u=x^{2} - 1$$$.

Quindi $$$du=\left(x^{2} - 1\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$x dx = \frac{du}{2}$$$.

Quindi,

$${\color{red}{\int{\frac{x}{x^{2} - 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=\frac{1}{2}$$$ e $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{2}\right)}}$$

L'integrale di $$$\frac{1}{u}$$$ è $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2}$$

Ricordiamo che $$$u=x^{2} - 1$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x^{2} - 1\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

Pertanto,

$$\int{\frac{x}{x^{2} - 1} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} - 1}\right| \right)}}{2}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{\frac{x}{x^{2} - 1} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} - 1}\right| \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{x}{x^{2} - 1}\, dx = \frac{\ln\left(\left|{x^{2} - 1}\right|\right)}{2} + C$$$A