$$$\ln\left(1 - \phi\right)$$$の積分

$$$\int \ln\left(1 - \phi\right)\, d\phi$$$ を求めよ。

$$$u=1 - \phi$$$ とする。

すると $$$du=\left(1 - \phi\right)^{\prime }d\phi = - d\phi$$$（手順は»で確認できます）、$$$d\phi = - du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\ln{\left(1 - \phi \right)} d \phi}}} = {\color{red}{\int{\left(- \ln{\left(u \right)}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \ln{\left(u \right)}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\ln{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

積分 $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{c} \operatorname{dv} = \operatorname{c}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dc}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{c}=\ln{\left(u \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=du$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{dc}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$$- {\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}=- {\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}=- {\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$$- u \ln{\left(u \right)} + {\color{red}{\int{1 d u}}} = - u \ln{\left(u \right)} + {\color{red}{u}}$$

次のことを思い出してください $$$u=1 - \phi$$$:

$${\color{red}{u}} - {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)} = {\color{red}{\left(1 - \phi\right)}} - {\color{red}{\left(1 - \phi\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(1 - \phi\right)}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\ln{\left(1 - \phi \right)} d \phi} = - \phi - \left(1 - \phi\right) \ln{\left(1 - \phi \right)} + 1$$

簡単化せよ:

$$\int{\ln{\left(1 - \phi \right)} d \phi} = \left(\phi - 1\right) \left(\ln{\left(1 - \phi \right)} - 1\right)$$

積分定数を加える:

$$\int{\ln{\left(1 - \phi \right)} d \phi} = \left(\phi - 1\right) \left(\ln{\left(1 - \phi \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(1 - \phi\right)\, d\phi = \left(\phi - 1\right) \left(\ln\left(1 - \phi\right) - 1\right) + C$$$A