$$$\cos{\left(43 \theta \right)}$$$の積分

$$$\int \cos{\left(43 \theta \right)}\, d\theta$$$ を求めよ。

$$$u=43 \theta$$$ とする。

すると $$$du=\left(43 \theta\right)^{\prime }d\theta = 43 d\theta$$$（手順は»で確認できます）、$$$d\theta = \frac{du}{43}$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\cos{\left(43 \theta \right)} d \theta}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{43} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{43}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{43} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{43}\right)}}$$

余弦の積分は$$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{43} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{43}$$

次のことを思い出してください $$$u=43 \theta$$$:

$$\frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{43} = \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(43 \theta\right)}} \right)}}{43}$$

したがって、

$$\int{\cos{\left(43 \theta \right)} d \theta} = \frac{\sin{\left(43 \theta \right)}}{43}$$

積分定数を加える:

$$\int{\cos{\left(43 \theta \right)} d \theta} = \frac{\sin{\left(43 \theta \right)}}{43}+C$$

$$$\int \cos{\left(43 \theta \right)}\, d\theta = \frac{\sin{\left(43 \theta \right)}}{43} + C$$$A