$$$\frac{\pi t \cos{\left(n \right)}}{2}$$$ の $$$t$$$ に関する積分

$$$\int \frac{\pi t \cos{\left(n \right)}}{2}\, dt$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=\frac{\pi \cos{\left(n \right)}}{2}$$$ と $$$f{\left(t \right)} = t$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\pi t \cos{\left(n \right)}}{2} d t}}} = {\color{red}{\left(\frac{\pi \cos{\left(n \right)} \int{t d t}}{2}\right)}}$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$\frac{\pi \cos{\left(n \right)} {\color{red}{\int{t d t}}}}{2}=\frac{\pi \cos{\left(n \right)} {\color{red}{\frac{t^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{2}=\frac{\pi \cos{\left(n \right)} {\color{red}{\left(\frac{t^{2}}{2}\right)}}}{2}$$

したがって、

$$\int{\frac{\pi t \cos{\left(n \right)}}{2} d t} = \frac{\pi t^{2} \cos{\left(n \right)}}{4}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{\pi t \cos{\left(n \right)}}{2} d t} = \frac{\pi t^{2} \cos{\left(n \right)}}{4}+C$$

$$$\int \frac{\pi t \cos{\left(n \right)}}{2}\, dt = \frac{\pi t^{2} \cos{\left(n \right)}}{4} + C$$$A